代数学演習 =Z/pZをp元体としF_pにおけるa∈Zの

代数学演習 =Z/pZをp元体としF_pにおけるa∈Zの。正しく示してみます。いち早く6%?85%程度の完成度で人に見せられる=Z/pZをp元体としF_pにおけるa∈Zの類を[a]∈F_pと表すを作ることがいかに重要か、という話。p:3以上の素数
F_p:=Z/pZをp元体とし、F_pにおけるa∈Zの類を[a]∈F_pと表す 問 正の整数dに対して次の式を示せ
Σ(x∈F_p)x^d=[0] (p 1?dの時)
[ 1] (p 1 dの時)

という問題が分かりませんでした
ご教授よろしくお願いします 代数学演習。類数の有限性 イデアル論の基本定理 イデアルのノルム 単数
素数の分解 有理整数環のイデアルと剰余環 定義 系 を
素数とし, ∈ を で割り切れないとすれば, + 上の命題 より,
= / は体である.体 の の元を係数とする多項式の全体を表す.[]
は における倍数,約数,素数 既約元 の概念が のときと同様に定義できる
.命題 を 次代数体とし,{,} を の 上の基底とする.α ∈

公開鍵暗号2:。実験数学 大阪大学理学部数学科 年?年 鈴木 譲 ˉˉ = ˉ
, ˉ ∈ / 可換環 / が素数 ?? / が体素数 について。体 / = {ˉ, ˉ
, · · · , ? } を で表す。群環体 有限体 巡回群証明 が素数のとき。任意の
ˉ ∈ /? = / ? {ˉ} について。 ˉˉ = ˉ なる ˉ? = {α = , ,
· · · , ? } なる α ∈ が存在する? の中で位数最大のものを α とし。その
位数 が ? 公開鍵暗号 楕円曲線における離散対数問題

正しく示してみます。証明F_p*={x∈F_p|x≠[0]} とおきます。まず、p-1?d のときはd を p?1 で割った商を q, 余りを r とすると、q, r は整数でd=qp?1+r, 0<r<p?1 となります。ここで、F_p は体だから方程式 T^r=[1] のF_p における解は r 個以下でありF_p*=p?1>r なのでt^r≠[1] を満たす t∈F_p* が存在します。このとき、t≠0 だからF_p=tF_p={tx|x∈F_p} なのでΣ[x∈F_p] x^d=Σ[x∈F_p]tx^d=t^d*Σ[x∈F_p]x^dよって、t^d?1Σ[x∈F_p] x^d=0ここで、t∈F_p* だから t^p-1=[1] なのでt^d={t^p-1}^q*t^r=t^r≠[1]よって、Σ[x∈F_p] x^d=[0]また、p-1|d のときはd=kp?1k は正整数と表されるのでx^d={x^p-1}^k=[1]^k=[1]?x∈F_p*であり[0]^d=[0] なのでΣ[x∈F_p]x^d=Σ[x∈F_p*][1]+[0]=pー1[1]=[-1]したがってp-1?d のときは、Σ[x∈F_p]x^d=[0] でp-1|d のときは、Σ[x∈F_p]x^d=[-1] です。証明終わりp-1dの時d=kp-1となる整数kが存在する。任意のx∈F_pに対して、x^{d}=x^{p-1}^{k}=1となる。したがって、Σx∈F_px^d=0+Σx∈F_p*x^d=F_p*=p-1=-1 in F_{p}ただし、F_p*はF_pの乗法群。p-1?dの時、任意の0でないy∈F_pに対して、y^{d}≠1である。a=Σx∈F_px^dと置くと、ay^{d}=Σx∈F_pxy^dここで、z=xyと置くと、x=zy^{-1}となる。すると、F_p→F_p, z→xは全単射なので、ay^{d}=Σx∈F_pxy^d=ay^{d}=Σz∈F_pz^d=Σx∈F_px^d=aしたがって、ay^{d}-1=0y^{d}≠1なので、a=0となる。

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